Differentieren

Economie Lokaal

Algemeen

Examen oud

Login

Wiskunde

wiskunde

Differentieren

Differentiëren wordt in de vwo-stof van het vak economie nog wel eens gebruikt. De uitleg hiervoor is in drie onderdelen verdeeld:

Een algemene inleiding over differentiëren:
uitleg over wat je nu eigenlijk doet met differentiëren en uitleg van de standaard regel (uit de wiskunde)
Een toepassing van het differentiëren: MO en MK
Een andere toepassing van differentiëren: de puntelasticiteit.

1. Algemene inleiding differentiëren

Bij het vak economie willen we vaak weten in hoeverre een bepaald gegeven verandert, wanneer een andere factor verandert met één eenheid.
Dus bijvoorbeeld: hoeveel belasting met je extra betalen als je één euro extra inkomen verdient,
of: hoeveel stijgt de totale opbrengst van een producent als er één product meer geproduceerd wordt.

Grafisch weergegeven ziet dat er als volgt uit:

Er is bij het differentiëren één verschil: je kijkt niet naar een stukje van de lijn, maar je bekijkt het in één punt (met behulp van een raaklijn). Zodat:

Om te kunnen differentiëren (eerste afgeleide bepalen) bij het vak economie, heb je alleen de meest eenvoudige regel uit de wiskunde nodig. Namelijk:

In de originele formule staat	De eerste afgeleide van die factor is dan:
y = a · xⁿ	= a · n · x ^n-1

Met de omschrijving

wordt aangegeven dat vergelijking "y" moet worden gedifferentieerd naar de variabele "x". Bij het vak wiskunde wordt daarvoor vaak gewoon y' opgeschreven.
Deze lastige notatiewijze lijkt overbodig, maar zodra een vergelijking meerdere onbekenden heeft absoluut noodzakelijk.

Dus:

In de originele formule staat		De eerste afgeleide van die factor is dan:
y = a · xⁿ		= a · n · x ^n-1
5 x³	5·3 x^3-1	15x²
3 x²	3·2 x^2-1	6x
15 x	15·1 x^1-1	15
15	y blijft contant (15)	0

5x³ - 12x + 5

5·3 x^3-1 - 12·1 x^1-1+constante

15x² - 12

Bij het vak economie zal er echter in de meeste gevallen geen "x" en "y" in de vergelijking staan, maar een "q" en (bijvoorbeeld) "p".

TO = -4q² + 10q

De eerste afgeleide (= de marginale opbrengst) wordt dan:

MO= -8q + 10

2a. Een toepassing: MO

Stel een monopolist heeft te maken met de volgende collectieve vraagfunctie: Q_v = -5P + 20

De collectieve vraaglijn voor deze producent kan ook worden herschreven als een prijs-afzetfunctie: Qv = -5P + 20 5P = -Q_v+ 20
De totale omzet (opbrengst) kunnen we dan eenvoudig berekenen door: TO = P · Q
De extra opbrengst voor één extra product (MO) kunnen we bepalen door de eerste afgeleide te nemen van de zojuist gevonden TO-functie: Wanneer we deze lijn in de grafiek tekenen, valt op dat de MO-lijn de hoeveelheid-as precies halverwege snijdt t.o.v. de Q_v-lijn. Logisch want de top van de parabool TO zit halverwege de snijpunten met de horizontale as.
Vóór de top geldt: de extra opbrengst neemt steeds een beetje af, maar is positief (de TO-stijgt, maar steeds minder snel). Ná de top geldt: de TO-parabool begint te dalen (en steeds sneller). Dat wil zeggen dat de extra opbrengst voor één extra product (MO) negatief wordt (en steeds meer negatief wordt). Onthouden: de totale opbrengst is maximaal (TO-top) bij díe productieomvang waar geldt dat MO = 0

2b. Een toepassing: MK

Omdat de constante kosten niet afhankelijk zijn van de omvang van de productie, kunnen bij een stijging van de productie extra kosten alleen veroorzaakt worden door de variabele kosten. Als deze variabel kosten per product bovendien ook nog steeds hetzelfde bedrag zijn (bijv. € 5,-; we spreken dan van proportioneel variabele kosten), zullen de totale kosten van het bedrijf steeds met € 5,- stijgen als er één extra product wordt gemaakt. Dus bij proportioneel variabele kosten geldt: GVK = MK.

Je kunt de marginale kosten natuurlijk ook uitrekenen door de stijging van de kosten te verdelen over het aantal producten dat extra gemaakt is (dus delen door extra productie):

Als je bijvoorbeeld 50 producten méér maakt dan voorheen en de kosten zijn daardoor met € 1000,- toegenomen, zijn de marginale kosten € 20,- ( € 1000 : 50 producten = € 20,- per product).

Differentiëren

De MK kunnen ook worden berekend door de TK te differentiëren. Door de TK-functie te differentiëren kijk je immers naar de stijging van de TK bij een bepaalde productieomvang.

er kan sprake zijn van proportioneel variabele kosten (zoals in het bovenstaande voorbeeld/grafiek) dwz. elk product heeft dezelfde variabele kosten (in voorbeeld: 20)
er kan spreke zijn van niet-proportioneel variabele kosten (in alle andere gevallen) dwz. dat de gemiddelde variabele kosten niet steeds hetzelfde bedrag zijn.

Aangezien de variabele kosten de omvang van de marginale kosten bepalen verschillen de conclusies voor MK voor beide gevallen

proportioneel variabele kosten

niet-proportioneel variabele kosten

Elk product heeft dezelfde variabele kosten.

Bijvoorbeeld € 20,- per stuk.

TK = 20·q + 100.000

dus: TVK = 20·q

De marginale kosten (MK) kunnen we nu bepalen door de eerste afgeleide van TK of TVK te nemen: MK = 20

We zien dat ook in de grafiek: elk product dat extra gemaakt wordt laat de TK met € 20,- (de GVK) stijgen

Deze maginale kosten zien er in een grafiek als volgt uit:

Er zijn verschillende mogelijkheden, maar de meest gebruikelijke is een kostenfunctie die er bijvoorbeeld als volgt uit ziet:

In de grafiek kunnen we zien dat uitbreiding van de productieomvang met één eenheid, niet steeds dezelfde kostenstijging (MK) met zich mee brengt.

De marginale kosten (MK) kunnen we nu bepalen door de eerste afgeleide van TK of TVK te nemen:

In een grafiek ziet dat er als volgt uit:

3. Een toepassing: puntelasticiteit

Elasticiteiten worden gebruikt om het verband te analyseren tussen twee samenhangende factoren (bijvoorbeeld: in hoeverre een prijswijziging gevolgen heeft voor de vraag naar een product).

Bij 'normale' elasticiteiten maken we daarvoor gebruik van procentuele veranderingen.
Bijvoorbeeld wanneer de prijs van een goed wordt verlaagd van 60 naar 50 euro (punt A naar punt B).

We spreken in zo'n geval van een segmentelasticiteit, omdat de verandering een stukje (segment) van de vraaglijn betreft.

We kunnen hiervoor de volgende formule gebruiken:

Er hoeft echter niet altijd sprake te zijn van een prijsverandering. Het kan ook zo zijn dat we de prijselasticiteit van dit product willen weten bij een prijs van 6 euro.
In zo'n geval spreken we van een puntelasticiteit; het gaat immers om één punt op de vraaglijn.

De formule voor de puntelasticiteit kunnen we herleiden vanuit de segmentelasticiteit (maar je hoeft dit niet zelf te kunnen):

Stap
1	Formule segmentelasticiteit: Oftewel:
2	We kunnen dit herschrijven (delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgedraaide van die breuk):
3	Herschikking levert dan op: Het gaat hier nog steeds om een segmentelasticiteit (er is nog steeds sprake van een échte verandering (Δ)).
4	Wanneer we deze formule herschrijven voor de 'verandering' in een punt (differentiëren), krijgen we de formule voor een puntelasticiteit: Deze formule bestaat uit twee delen: (E = a · b) a. = de eerste afgeleide van de vraagfunctie (differentiëren naar p) b. = een breuk die bestaat uit de coördinaten van het betreffende punt.

Als je de formule van de puntelasticiteit kent voor de prijselasticiteit, kun je de formule vrij eenvoudig ook voor andere elasticiteiten 'ombouwen'. Kijk maar in onderstaand overzicht:

Elasticiteit	Formule	Voorbeeld
Prijselasticiteit van de vraag		Q_v = -2p + 16 Bereken de prijselasticiteit bij een prijs van € 5,-. Dan geldt: q_v = 6 Dus:
Kruiselingse elasticiteit		Q_v1= -2p₁ + 0,5p₂ + 20 Bereken de kruiselingse elasticiteit van de vraag naar goed 1 als gegeven is dat p₁ = €2,- en p₂ = €5,- Dan geldt: q_v1 = 18,5 Dus:
Inkomenselasticiteit		Q_v = -20p + 0,004Y + 0,5p₂ + 80 Bereken de inkomenselasticiteit van de vraag als gegeven is dat: p = €2,- ; p₂ = €4,- ; Y = €24.000,- Dan geldt: q_v = 138 Dus:
De formule bestaat uit twee delen: (E = a·b). a. de eerste afgeleide van de functie (die het gevolg beschrijft) differentiëren naar de variabele die verandert (oorzaak) b. een breuk die bestaat uit de coördinaten van het betreffende punt (wellicht een ezelsbruggetje: 'deze breuk is het omgekeerde van de differentieernotatie').